Née à Narbonne en 1963, Claude Bussac est diplômée d'économie internationale et européenne de l'Université de Paris Panthéon Sorbonne, titulaire d’un DEA en histoire de l'art et de la culture européenne de l'Université de Paris 8 et d'une maîtrise de gestion des institutions culturelles de l'Université de Paris Dauphine.

À son arrivée à Madrid en 1990, elle a été cheffe de presse de divers festivals tels que le Festival de Otoño de Madrid, le Festival Internacional de Cine de Madrid et le Festival Internacional de Teatro Clásico de Almagro.

En 1996, elle devient directrice adjointe du Círculo de Bellas Artes à Madrid, où elle est chargée de la promotion des activités ainsi que de la coordination et des relations institutionnelles avec les fondations, les ambassades, les maisons d'édition et divers festivals.

Cette vaste expérience en gestion culturelle l'a conduite à devenir directrice des études artistiques à la Casa Velázquez de 1999 à 2006.

En 2007, elle arrive à La Fábrica, entreprise de gestion culturelle où elle occupe le poste de directrice générale des expositions et des festivals et où, pendant dix-sept ans, elle dirige PhotoESPAÑA, festival qui s'est consolidé au fil des ans comme l'un des événements culturels les plus importants de la scène artistique internationale.

En 2023, elle revient à la Casa de Velázquez où elle reprend la direction des études artistiques de l'institution, supervisant les programmes de résidences artistiques et le programme d’activités culturelles.

Depuis 2019, Claude Bussac est officier de l'ordre des Arts et des Lettres et, en 2023, elle reçoit le prix d'honneur PHotoESPAÑA.